Bueno la respuesta a esta pregunta a todas luces es NO. La obligación de contratar un seguro siempre será para el propietario de la vivienda, el cual debe ser el tomador de dicho seguro.
Ahora bien indicar que dicho seguro no tiene por qué asegurar los bienes que sean del inquilino, ni los daños que este pueda producir tanto en la vivienda arrendada, como en caso de un eventual accidente (grifo abierto, sartén en el fuego, etc.) a los vecinos colindantes.
A algunos arrendadores en caso de producirse algún evento fortuito de estas características no les importará responder por el inquilino, pero otros no lo harán. Así que no estaría demás tener en cuenta a la hora de alquilar, la posibilidad de constituir un seguro de inquilino que cubra nuestros intereses. Si además nos ponemos de acuerdo con el arrendador y sabemos que cubre su seguro nos evitaremos pagar dos veces la cobertura de la misma garantía.
Algunos artículos a tener en cuenta son:
-Del Código Civil
De los derechos y obligaciones del arrendador y del arrendatario

Artículo 1562
A falta de expresión del estado de la finca al tiempo de arrendarla, la ley presume que el arrendatario la recibió en buen estado salvo o prueba en contrario.

Artículo 1563
El arrendatario es responsable del deterioro o pérdida que tuviere la cosa arrendada, a no ser que pruebe haberse ocasionado sin culpa suya.

Artículo 1564
El arrendatario es responsable del deterioro causado por las personas de su casa.

- Ley de Contrato de seguro

SEGUROS CONTRA DAÑOS SECCIÓN I. DISPOSICIONES GENERALES
Artículo 43.
El asegurador, una vez pagada la indemnización, podrá ejercitar los derechos y las acciones que por razón del siniestro correspondieran al asegurado frente a las personas responsables del mismo, hasta el límite de la indemnización.

Así que más vale prevenir que curar. Y ya sabéis para conseguir un buen precio en el seguro comparar, comparar y comparar.